Zufallsvariablen & Sampling: wo Unsicherheit entsteht

Vom Zufallsergebnis zur Zahl

Eine Zufallsvariable X ordnet jedem möglichen Ergebnis eine Zahl zu; ihre Verteilung beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit Werte auftreten. Der Erwartungswert E[X] ist das langfristige Verteilungszentrum, die Varianz Var(X)=E[(X−E[X])²] die mittlere quadrierte Abweichung. Kovarianz Cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])] misst lineares gemeinsames Variieren; Kovarianz 0 beweist im Allgemeinen keine Unabhängigkeit.

Geprüftes Bernoulli-Beispiel

Für X∈{0,1} mit P(X=1)=p=0,20 gilt E[X]=p=0,20 und Var(X)=p(1−p)=0,16. Bei 50 unabhängigen, gleich verteilten Beobachtungen hat die Summe S Erwartungswert 50·0,20=10 und Varianz 50·0,16=8. Der Stichprobenanteil X̄=S/50 hat Standardfehler √(0,16/50)=0,0566.

Plain German: Einzelne 0/1-Werte streuen stark; der Anteil über 50 Fälle streut von Stichprobe zu Stichprobe deutlich weniger. Das ist eine Aussage über die Stichprobenverteilung des Schätzers, nicht über die Verteilung einzelner Fälle.

Population → Stichprobe → Entscheidung

1. Zielpopulation: Für wen soll die Aussage gelten?
2. Estimand: Welche Populationsgröße, etwa Anteil p?
3. Sampling Frame: Welche Einheiten konnten tatsächlich ausgewählt werden?
4. Design: Zufällig, geschichtet, geclustert oder zeitlich gezogen – und mit welchen Gewichten?
5. Schätzer/Schätzung: Regel vorab, beobachteter Wert danach.
6. Unsicherheit/Entscheidung: Standardfehler plus systematische Fehler und fachliche Schwelle.

NIST trennt Repräsentativität, Stichprobengröße, Populationsvariabilität und gewünschte Präzision als vier Eignungsfragen.^[2] Zufällige Auswahl verhindert keine unglückliche einzelne Stichprobe, reduziert aber systematische Auswahlverzerrung im wiederholten Sampling; Modelle können beliebige Nichtrepräsentativität nicht reparieren.^[3]