24 Verteilungen: Modellannahmen statt Formelsammlung

01 / 24diskretGeprüft: 2026-09-05

Bernoulli-Verteilung

Bernoulli distribution

Support: $x\in\{0,1\}$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Ein Dokument auf einen Pflichtfeldfehler prüfen

In einem synthetischen Qualitätstest wird genau ein zufällig gezogenes Dokument geprüft. Die angenommene Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt 20 Prozent.

Zufallsvariable: $X=1$ : mindestens ein vorab definierter Pflichtfeldfehler; $X=0$ : keiner.

Wozu die Rechnung? Hilft, Fehlerdefinition und Label für einen binären Qualitätscheck festzulegen. Die angenommene Wahrscheinlichkeit ist keine aus Daten geschätzte Modellgüte.

Gilt unter diesen Annahmen: Eine feste Fehlerdefinition und derselbe Beobachtungszeitpunkt; mehrere Fehler im selben Dokument bleiben ein einziger positiver Ausgang.

Bernoulli-Verteilung: Zwei mögliche Ausgänge — PMF · theoretische Form
Zwei mögliche Ausgänge

Definition & Intuition

Ein binärer Versuch, beispielsweise „Dokument enthält einen Fehler“. $P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}$

Parameter & Einheiten

$p\in[0,1]$ : dimensionslose Ereigniswahrscheinlichkeit. $X=1$ bezeichnet das definierte Ereignis, $X=0$ sein Ausbleiben; „Erfolg“ ist nur der mathematische Name.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=p$ , $\operatorname{Var}(X)=p(1-p)$ . Nur zwei mögliche Werte; das Quantil springt.

Eigenschaften

$X^2=X$ . Eine Summe unabhängiger Bernoulli-Variablen mit gleichem $p$ ist binomialverteilt.

Passender Prozess

Ein Ja/Nein-Outcome pro unabhängiger Beobachtungseinheit.

Schlechter Fit

Mehr als zwei Ausgänge, unklare Einheit, wiederholte abhängige Ereignisse oder wechselndes $p$ .

Geprüftes Mini-Beispiel

$p=0{,}2$ : $P(X=1)=0{,}2,\qquad P(X=0)=0{,}8$ $\mathbb E[X]=0{,}2$ und $\operatorname{Var}(X)=0{,}16$ . Das ist keine Aussage, ein einzelnes Dokument sei zu einem Fünftel fehlerhaft.

Nächste Alternative

Binomial zählt Erfolge über festes $n$ ; Bernoulli beschreibt genau einen Versuch.

Interviewfalle

Binä $r$ codiert bedeutet nicht automatisch unabhängig oder identisch verteilt.

Schätzen & diagnostizieren

Erfolg, Nenner und Beobachtungseinheit prüfen; $p$ als Anteil schätzen und Intervall berichten, nicht einen Fit- $p$ -Wert als Beweis lesen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Wann würdest du eine Zielvariable als Bernoulli modellieren, und welche Annahme prüfst du vor der Log-Loss-Auswertung?

0–4-Rubrik: 0: keine Erklärung. 1: nennt zwei Ausgänge. 2: trennt Einzelereignis und Chance. 3: erklärt Erwartung und Streuung. 4: ergänzt Labeldefinition, Unsicherheit und Konsequenz.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

02 / 24diskretGeprüft: 2026-09-05

Binomialverteilung

Binomial distribution

Support: $x\in\{0,\ldots,n\}$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Fehlerhafte Dokumente in einem Fünfer-Batch

Ein Prüfbatch enthält fünf unabhängig ausgewählte Dokumente mit jeweils angenommener Fehlerwahrscheinlichkeit von 20 Prozent.

Zufallsvariable: $X$ : Zahl fehlerhafter Dokumente im festen Batch, nicht die Zahl einzelner fehlerhafter Felder.

Wozu die Rechnung? Die Rechnung zeigt, wie wahrscheinlich genau ein Nachprüffall ist; sie unterstützt eine einfache Arbeitsmengenabschätzung.

Gilt unter diesen Annahmen: Konstante Fehlerchance und unabhängige Dokumente. Gemeinsam erzeugte Vorlagenfehler oder mehrere Seiten derselben Akte verletzen die Annahmen.

Binomialverteilung: Fehlerzahl im festen Batch — PMF · theoretische Form
Fehlerzahl im festen Batch

Definition & Intuition

Anzahl definierter Ereignisse in einer festen Zahl unabhängiger Versuche. $P(X=x)=\binom nx p^x(1-p)^{n-x}$

Parameter & Einheiten

$n\in\mathbb N_0$ : feste Versuchszahl; $p\in[0,1]$ : gleiche dimensionslose Ereigniswahrscheinlichkeit je Versuch.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=np$ , $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$ . Ganzzahlige Quantile; bei kleinem $p$ rechtsschief.

Eigenschaften

$X=\sum_{i=1}^{n}B_i$ für unabhängige $B_i\sim\operatorname{Bernoulli}(p)$ . Bei großem $n$ und kleinem $p$ kann Poisson mit $\lambda=np$ annähern.

Passender Prozess

Erfolgszahl bei festem $n$ , gleicher Erfolgsdefinition und plausibel unabhängigen Versuchen.

Schlechter Fit

Overdispersion, Abhängigkeit, wechselndes $p$ oder zufälliger Nenner.

Geprüftes Mini-Beispiel

$n=5,\ p=0{,}2$ : $P(X=1)=\binom51\,0{,}2\,0{,}8^4=0{,}4096$ Genau ein fehlerhaftes Dokument unter fünf hat unter diesen Annahmen eine Wahrscheinlichkeit von 40,96 Prozent.

Nächste Alternative

Poisson modelliert Counts ohne feste Obergrenze; Beta-Binomial erlaubt heterogenes $p$ .

Interviewfalle

Fünf beobachtete Zeilen garantieren keine fünf unabhängigen Versuche.

Schätzen & diagnostizieren

Nenner, Cluster und Streuung prüfen; $\widehat p=x/n$ samt kompatiblem Intervall berichten.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Ein Count liegt zwischen 0 und 20. Reicht das fü $r$ ein Binomialmodell? Begründe.

0–4-Rubrik: 0: sagt ja. 1: nennt $n$ . 2: fordert binäre Versuche. 3: prüft konstantes $p$ und Unabhängigkeit. 4: nennt Overdispersion/Cluster, Alternative und passende Validierung.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide, 1.3.6.6.18. Binomial Distribution

03 / 24diskretGeprüft: 2026-09-05

Kategorialverteilung

Categorical distribution

Support: $x\in\{1,\ldots,K\}$ als Kategorienlabels

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Eine Serviceanfrage nach Anliegen einordnen

Eine Anfrage gehört genau zu einer Kategorie: Adressänderung, Rechnungsfrage oder Vertragsauskunft. Angenommene Anteile sind 20, 50 und 30 Prozent.

Zufallsvariable: $X$ : Anliegenkategorie einer einzelnen Anfrage.

Wozu die Rechnung? Eignet sich als Häufigkeitsbaseline für ein Routingmodell. Die häufigste Klasse liefert eine einfache Vergleichsbasis.

Gilt unter diesen Annahmen: Exklusive, vollständige Kategorien; Mehrfachanliegen benötigen eine andere Labeldefinition. Keine Rangordnung aus Kategoriecodes ableiten.

Kategorialverteilung: Eine Kategorie je Anfrage — PMF · theoretische Form
Eine Kategorie je Anfrage

Definition & Intuition

Ein einzelnes Objekt gehört zu genau einer von mehreren Kategorien. $P(X=k)=p_k$

Parameter & Einheiten

$K\in\mathbb N$ : Kategorienzahl; $p_k\ge0$ und $\sum_{k=1}^{K}p_k=1$ . Kategoriencodes haben keine metrische Einheit.

Momente, Quantile & Tails

Für den Indikator $I_k=\mathbf1\{X=k\}$ : $\mathbb E[I_k]=p_k$ , $\operatorname{Var}(I_k)=p_k(1-p_k)$ . Ein Mittelwert nominaler Codes hat keine fachliche Bedeutung.

Eigenschaften

Der Modus ist eine Kategorie mit maximalem $p_k$ . Für $K=2$ und binäre Codierung entsteht Bernoulli.

Passender Prozess

Genau eine aus mehreren gegenseitig ausschließenden Kategorien pro Einheit.

Schlechter Fit

Mehrfachlabels, geordnete Kategorien oder hierarchische/abhängige Ausgänge ohne Erweiterung.

Geprüftes Mini-Beispiel

$\boldsymbol p=(0{,}2;\,0{,}5;\,0{,}3)$ : $\sum_{k=1}^{3}p_k=0{,}2+0{,}5+0{,}3=1$ Die mittlere Kategorie ist mit 50 Prozent am wahrscheinlichsten.

Nächste Alternative

Multinomial zählt Kategorien über $n$ Züge; ordinal logistische Modelle nutzen eine echte Ordnung.

Interviewfalle

Codes 1,2,3 machen ungeordnete Kategorien nicht metrisch.

Schätzen & diagnostizieren

Klassenmapping, unbekannte Levels und relative Häufigkeiten mit Unsicherheit prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Warum darfst du den Mittelwert der Codes rot=1, blau=2, grü $n$ =3 nicht als Lage interpretieren?

0–4-Rubrik: 0: keine Begründung. 1: nennt Kategorien. 2: erklärt willkürliche Codes. 3: schlägt Häufigkeiten/One-hot vor. 4: ergänzt Ordinalfall, Referenzklasse und Unsicherheit.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

04 / 24diskretGeprüft: 2026-09-05

Multinomialverteilung

Multinomial distribution

Support: $x_k\in\mathbb N_0,\ \sum_{k=1}^{K}x_k=n$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Die Zusammensetzung von vier Anfragen planen

Vier unabhängige Anfragen betreffen Rechnung, Adresse oder Vertrag; angenommene Anteile sind 50, 30 und 20 Prozent.

Zufallsvariable: $\boldsymbol X=(X_1,X_2,X_3)$ : Anzahlen je Anliegen mit $X_1+X_2+X_3=4$ .

Wozu die Rechnung? Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit einer Zusammensetzung unterstützt eine kleine Planungssimulation für benötigte Kompetenzen.

Gilt unter diesen Annahmen: Feste Gesamtzahl und konstante Kategorienwahrscheinlichkeiten; die Counts der Kategorien sind untereinander abhängig.

Multinomialverteilung: Eine Randverteilung des Countvektors — PMF · theoretische Form
Eine Randverteilung des Countvektors

Definition & Intuition

Gemeinsame Häufigkeiten mehrerer exklusiver Kategorien in einer festen Stichprobe. $P(\boldsymbol X=\boldsymbol x)=\frac{n!}{\prod_{k=1}^{K}x_k!}\prod_{k=1}^{K}p_k^{x_k}$

Parameter & Einheiten

$n\in\mathbb N_0$ : feste Gesamtzahl; $K$ : Kategorienzahl; $p_k\ge0,\ \sum_kp_k=1$ . Die Kategorie je Zug ist unabhängig, der Wahrscheinlichkeitsvektor konstant.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X_k]=np_k$ , $\operatorname{Var}(X_k)=np_k(1-p_k)$ . Für $j\ne k$ : $\operatorname{Cov}(X_j,X_k)=-np_jp_k$ .

Eigenschaften

Jede Randverteilung erfüllt $X_k\sim\operatorname{Bin}(n,p_k)$ . Die Kategoriencounts sind durch $\sum_kX_k=n$ gekoppelt.

Passender Prozess

Zusammensetzung eines festen Gesamtnenners über exklusive Kategorien.

Schlechter Fit

Variable Gesamtzahlen, abhängige Züge, Overdispersion oder Mehrfachzuordnung.

Geprüftes Mini-Beispiel

$n=4,\ \boldsymbol p=(0{,}5;\,0{,}3;\,0{,}2)$ : $P(\boldsymbol X=(2,1,1))=\frac{4!}{2!\,1!\,1!}\,0{,}5^2\,0{,}3\,0{,}2=0{,}18$ Die vollständige Zusammensetzung hat 18 Prozent Wahrscheinlichkeit.

Nächste Alternative

Unabhängige Poisson-Counts haben keinen festen Summenzwang; Dirichlet-Multinomial erlaubt Heterogenität.

Interviewfalle

Die Kategoriencounts sind trotz unabhängiger Züge nicht untereinander unabhängig.

Schätzen & diagnostizieren

Summenzwang und Overdispersion je Gruppe prüfen; Residuen nicht als unabhängige Binomialserien behandeln.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Weshalb ist die Kovarianz zweier unterschiedlicher Kategoriencounts negativ?

0–4-Rubrik: 0: $r$ ät. 1: nennt festen Nenner. 2: erklärt Verdrängung. 3: erläutert die negative Kovarianz. 4: verbindet dies mit Modellwahl, Overdispersion und alternativer Count-Modellierung.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

05 / 24diskretGeprüft: 2026-09-05

Diskrete Gleichverteilung

Discrete uniform distribution

Support: $x\in\{1,\ldots,K\}$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Einen von sechs Testservern zufällig wählen

Ein Testsystem weist jede neue synthetische Anfrage per fairem Zufallsindex einem von sechs gleichberechtigten Servern zu.

Zufallsvariable: $X\in\{1,\ldots,6\}$ : gewählter Serverindex.

Wozu die Rechnung? Server fünf oder sechs erhalten zusammen ein Drittel der Anfragen im Modell. Gleichwahrscheinlichkeit ist hier durch den Algorithmus begründet.

Gilt unter diesen Annahmen: Alle sechs Server sind verfügbar und gleich gewichtet. Bei unterschiedlicher Kapazität ist eine kategoriale Auswahl mit ungleichen Gewichten passender.

Diskrete Gleichverteilung: Faire Serverauswahl — PMF · theoretische Form
Faire Serverauswahl

Definition & Intuition

Jeder von endlich vielen Werten hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. $P(X=x)=\frac1K$

Parameter & Einheiten

$K\in\mathbb N$ : Zahl erreichbarer Werte. Allgemeiner: ganzzahlige Grenzen $a\le b$ mit $K=b-a+1$ ; Einheit folgt den Werten.

Momente, Quantile & Tails

Für den hier verwendeten Support: $\mathbb E[X]=(K+1)/2$ , $\operatorname{Var}(X)=(K^2-1)/12$ . Quantile springen.

Eigenschaften

Gleiche Masse für jeden festgelegten Wert. Die endliche Wertemenge muss bekannt sein.

Passender Prozess

Echte gleiche Auswahlchance, etwa ein fairer Zufallsindex.

Schlechter Fit

Beobachtete Kategorien mit systematisch verschiedenen Häufigkeiten oder unvollständigem Support.

Geprüftes Mini-Beispiel

$K=6$ : $P(X\ge5)=\frac26=\frac13\approx0{,}3333$ $\mathbb E[X]=3{,}5$ ; dieser Mittelwert ist selbst kein möglicher ganzzahliger Ausgang.

Nächste Alternative

Kategorial erlaubt ungleiche Wahrscheinlichkeiten; kontinuierlich gleichverteilt hat Punktwahrscheinlichkeit 0.

Interviewfalle

‚Keine Information‘ rechtfertigt nicht automatisch gleiche Wahrscheinlichkeiten.

Schätzen & diagnostizieren

Randomisierungsmechanismus und erreichbare Werte prüfen; Häufigkeitsabweichungen mit Unsicherheit betrachten.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Wann ist eine Gleichverteilungsannahme ein Mechanismus und wann nur Bequemlichkeit?

0–4-Rubrik: 0: ‚wenn alles gleich aussieht‘. 1: gleiche Masse. 2: verlangt bekannten Support. 3: prüft Zufallsmechanismus. 4: trennt Prior-Unwissen, Modellannahme, Diagnostik und Entscheidung.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

06 / 24diskretGeprüft: 2026-09-05

Geometrische Verteilung

Geometric distribution

Support: $x\in\{1,2,\ldots\}$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Uploadversuche bis zur ersten Bestätigung

In einem simulierten Übertragungstest gelingt jeder unabhängige Versuch mit Wahrscheinlichkeit 25 Prozent.

Zufallsvariable: $X$ : Anzahl Versuche bis einschließlich der ersten bestätigten Übertragung.

Wozu die Rechnung? Erlaubt eine einfache Prognose der Versuchszahl und eine Prüfung von Retry-Grenzen.

Gilt unter diesen Annahmen: Die Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt konstant. Ein länger andauernder Netzausfall erzeugt abhängige Fehler und passt nicht zu diesem Modell.

Geometrische Verteilung: Versuche bis zum ersten Erfolg — PMF · theoretische Form
Versuche bis zum ersten Erfolg

Definition & Intuition

Versuchszahl bis einschließlich des ersten Erfolgs. $P(X=x)=(1-p)^{x-1}p$

Parameter & Einheiten

$p\in(0,1]$ : konstante Erfolgswahrscheinlichkeit pro unabhängigem Versuch. Hier wird der erfolgreiche Versuch mitgezählt.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=1/p$ , $\operatorname{Var}(X)=(1-p)/p^2$ . Rechtsschief mit geometrisch abfallender Restwahrscheinlichkeit.

Eigenschaften

Gedächtnislos für ganzzahlige $s,t\ge0$ : $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$ , sofern die Bedingung positive Wahrscheinlichkeit hat.

Passender Prozess

Wartezahl bis zum ersten Ereignis bei konstantem $p$ und unabhängigen Versuchen.

Schlechter Fit

Lern-, Ermüdungs-, Saison- oder Abhängigkeitseffekte; mehrere Ereignisse als Ziel.

Geprüftes Mini-Beispiel

$p=0{,}25$ : $P(X=3)=0{,}75^2\cdot0{,}25=0{,}140625$ Im Mittel sind $\mathbb E[X]=4$ Versuche nötig; genau drei sind mit etwa 14,06 Prozent zu erwarten.

Nächste Alternative

Negativ-binomial wartet bis zum $r$ -ten Erfolg; Exponential ist das kontinuierliche gedächtnislose Analogon.

Interviewfalle

Software kann Fehler vor Erfolg statt Versuche bis Erfolg zählen—Support prüfen.

Schätzen & diagnostizieren

Konvention, konstantes $p$ und Hazard über die Versuchsnummer prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Warum ist die 0-/1-basierte Konvention bei der geometrischen Verteilung keine Nebensache?

0–4-Rubrik: 0: kennt sie nicht. 1: nennt zwei Supports. 2: zeigt Verschiebung um eins. 3: verbindet Formeln/Software. 4: ergänzt Mechanismus, Gedächtnislosigkeit und Validierungscheck.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

07 / 24diskretGeprüft: 2026-09-05

Negativ-Binomialverteilung

Negative binomial distribution

Support: $x\in\{0,1,\ldots\}$ Fehler vor dem Zielerfolg

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Fehlversuche vor zwei erfolgreichen Uploads

Ein Testjob benötigt zwei erfolgreiche Übertragungen. Jeder unabhängige Versuch gelingt mit Wahrscheinlichkeit 50 Prozent.

Zufallsvariable: $X$ : Zahl der fehlgeschlagenen Übertragungen vor dem zweiten Erfolg.

Wozu die Rechnung? Unterscheidet Fehlerbudget von Gesamtversuchen. Insgesamt werden hier die Fehler plus zwei erfolgreiche Versuche benötigt.

Gilt unter diesen Annahmen: Feste ganzzahlige Zielzahl und unabhängige Versuche. Für overdisperse Tagescounts ist stattdessen die Countinterpretation mit geprüfter Exposition nötig.

Negativ-Binomialverteilung: Fehler vor dem zweiten Erfolg — PMF · theoretische Form
Fehler vor dem zweiten Erfolg

Definition & Intuition

Fehlerzahl vor dem letzten benötigten Erfolg. $P(X=x)=\frac{\Gamma(x+r)}{\Gamma(r)\,x!}\,p^r(1-p)^x$

Parameter & Einheiten

$p\in(0,1]$ , $r>0$ . Im Warteversuchsmodell ist $r\in\mathbb N$ die Zielzahl der Erfolge. Im allgemeinen Countmodell kann $r$ ein positiver reeller Shapeparameter sein.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=r(1-p)/p$ , $\operatorname{Var}(X)=r(1-p)/p^2$ . Für $p<1$ liegt die Varianz über dem Mittelwert.

Eigenschaften

Bei ganzzahligem $r$ Summe unabhängiger geometrischer Fehlerzahlen. Die Gamma-Poisson-Mischung erklärt die Verallgemeinerung auf reelles $r>0$ .

Passender Prozess

Wartecounts oder overdisperse Countdaten, wenn Varianz über dem Mittel liegt.

Schlechter Fit

Unterdispersion, strukturell getrennte Nullen oder zeitlich wechselnde Exposition ohne Offset.

Geprüftes Mini-Beispiel

$r=2,\ p=0{,}5$ : $P(X=1)=\binom21\,0{,}5^2\,0{,}5=0{,}25$ Ein Fehlversuch vor der zweiten erfolgreichen Übertragung hat 25 Prozent Wahrscheinlichkeit.

Nächste Alternative

Poisson erzwingt Varianz=Mittel; Negativ-Binomial kann zusätzliche Heterogenität abbilden.

Interviewfalle

‚Negativ‘ bezeichnet weder negative Counts noch automatisch eine schlechte Binomialverteilung.

Schätzen & diagnostizieren

Mean-variance-Beziehung, Exposition, Nullanteil und Residuen prüfen; Parametrisierung der Software dokumentieren.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Wann ist Negativ-Binomial plausibler als Poisson, und was beweist Overdispersion nicht?

0–4-Rubrik: 0: nur ‚mehr Varianz‘. 1: nennt Counts. 2: Varianz über dem Mittelwert. 3: nennt Heterogenität/Cluster und Exposition. 4: prüft Nullprozess, Residuen, Split und kausale Überinterpretation.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide, scipy.stats.nbinom — SciPy v1.15.2

08 / 24diskretGeprüft: 2026-09-05

Hypergeometrische Verteilung

Hypergeometric distribution

Support: $\max(0,n-N+K)\le x\le\min(n,K),\ x\in\mathbb Z$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Eine kleine bekannte Fehlercharge nachprüfen

Ein synthetischer Batch enthält 20 Dokumente, davon genau fünf mit Fehlern. Vier werden einfach zufällig ohne Zurücklegen geprüft.

Zufallsvariable: $X$ : Zahl der entdeckten fehlerhaften Dokumente unter den vier gezogenen.

Wozu die Rechnung? Die Wahrscheinlichkeit, alle Fehler zu übersehen, macht die Grenze einer kleinen Stichprobe sichtbar. Sie ist keine Garantie für eine reale Qualitätsfreigabe.

Gilt unter diesen Annahmen: Die fünf Fehler sind im Lernbeispiel bekannt; echte unbekannte Fehleranteile müssen geschätzt werden. Jede Viererauswahl hat dieselbe Chance.

Hypergeometrische Verteilung: Gefundene Fehler ohne Zurücklegen — PMF · theoretische Form
Gefundene Fehler ohne Zurücklegen

Definition & Intuition

Erfolgszahl beim einfachen zufälligen Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population. $P(X=x)=\frac{\binom Kx\binom{N-K}{n-x}}{\binom Nn}$

Parameter & Einheiten

$N\in\mathbb N$ : Populationsgröße; $K,n\in\{0,\ldots,N\}$ : Erfolgsobjekte und Stichprobenumfang. Alle drei sind Counts.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=nK/N$ . Für $N>1$ : $\operatorname{Var}(X)=n\frac KN\left(1-\frac KN\right)\frac{N-n}{N-1}$

Eigenschaften

Die endliche Populationskorrektur $(N-n)/(N-1)$ senkt die Varianz gegenüber einem Binomialmodell mit gleichem Anteil.

Passender Prozess

Ziehen ohne Zurücklegen aus einer bekannten endlichen Population.

Schlechter Fit

Mit Zurücklegen, unbekannte/ändernde Population oder informative Ziehung.

Geprüftes Mini-Beispiel

$N=20,\ K=5,\ n=4$ : $P(X=0)=\frac{\binom{15}{4}}{\binom{20}{4}}=\frac{1365}{4845}\approx0{,}281734$ Eine Viererstichprobe übersieht sämtliche fünf Fehler mit etwa 28,17 Prozent Wahrscheinlichkeit.

Nächste Alternative

Binomial $n$ ähert bei kleiner Stichprobenfraktion und unabhängigem Ziehen mit Zurücklegen.

Interviewfalle

Ohne Zurücklegen sind die einzelnen Ziehungen nicht unabhängig.

Schätzen & diagnostizieren

Population, Sampling Frame, Ziehungsmechanismus und Stichprobenfraktion offenlegen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Warum ist ein Binomialmodell bei großer Stichprobenfraktion ohne Zurücklegen zu unsicher?

0–4-Rubrik: 0: keine Erklärung. 1: nennt ohne Zurücklegen. 2: Abhängigkeit. 3: finite-population correction. 4: verbindet Varianz, Sampling Frame und Näherungsgrenze.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

09 / 24diskretGeprüft: 2026-09-05

Poisson-Verteilung

Poisson distribution

Support: $x\in\mathbb N_0$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Serviceeingänge in einem Zeitfenster zählen

Für ein ruhiges, synthetisches Zehn-Minuten-Fenster werden im Mittel zwei neue Serviceanfragen angenommen.

Zufallsvariable: $X$ : Zahl neu eintreffender Anfragen in genau zehn Minuten.

Wozu die Rechnung? Eine einfache Ankunftsbaseline für eine Warteschlangensimulation. Die Bearbeitungsdauer und Personalbesetzung brauchen eigene Modelle.

Gilt unter diesen Annahmen: Konstante Rate im Fenster und unabhängige Ankünfte. Stoßzeiten, Kampagnen oder gemeinsam ausgelöste Anfragen können Overdispersion erzeugen.

Poisson-Verteilung: Ankünfte im Zehn-Minuten-Fenster — PMF · theoretische Form
Ankünfte im Zehn-Minuten-Fenster

Definition & Intuition

Anzahl von Ereignissen innerhalb einer festen Exposition. $P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$

Parameter & Einheiten

$\lambda>0$ : erwartete Ereigniszahl im betrachteten Fenster. Bei Rate $r$ und Zeit $t$ : $\lambda=rt$ ; die Rate hat eine inverse Zeiteinheit.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=\operatorname{Var}(X)=\lambda$ . Für kleine Erwartungswerte rechtsschief; bei großen ungefähr glockenförmig.

Eigenschaften

Unabhängige Poisson-Counts addieren sich: $X_1+X_2\sim\operatorname{Pois}(\lambda_1+\lambda_2)$ . Ein Prozess braucht zusätzlich passende Zeit-/Unabhängigkeitsannahmen.

Passender Prozess

Unabhängige Ereignisse mit ungefähr konstanter Rate in definierter Zeit/Fläche/Exposition.

Schlechter Fit

Over-/Underdispersion, Abhängigkeit, Selbstanregung, Nullinflation oder unberücksichtigte Exposition.

Geprüftes Mini-Beispiel

$\lambda=2$ : $P(X=3)=e^{-2}\frac{2^3}{3!}\approx0{,}180447$ Genau drei Anfragen im festgelegten Fenster haben etwa 18,04 Prozent Wahrscheinlichkeit.

Nächste Alternative

Binomial hat festen Nenner und Obergrenze; Negativ-Binomial erlaubt zusätzliche Heterogenität.

Interviewfalle

Ähnliche Werte von Stichprobenvarianz und Stichprobenmittel beweisen keinen Poisson-Prozess.

Schätzen & diagnostizieren

Offset, Residuen, Dispersion, Nullanteil, Zeitabhängigkeit und Rate je Subgruppe prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Welche Beobachtung würde dich vom Poisson- zum Negativ-Binomialmodell wechseln lassen?

0–4-Rubrik: 0: ‚mehr Fehler‘. 1: Counts. 2: Overdispersion. 3: prüft Exposition und Heterogenität. 4: ergänzt Nullprozess, Abhängigkeit, Residuen und Evaluation.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

10 / 24stetigGeprüft: 2026-09-05

Stetige Gleichverteilung

Continuous uniform distribution

Support: $a\le x\le b$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Zufälligen Jitter für einen API-Retry erzeugen

Ein Client zieht vor einem erneuten API-Aufruf eine kontinuierliche Verzögerung gleichverteilt zwischen zwei und sechs Sekunden.

Zufallsvariable: $X$ : die vom Zufallsmechanismus gezogene Wartezeit in Sekunden.

Wozu die Rechnung? Die Chance einer Verzögerung zwischen drei und fünf Sekunden lässt sich direkt als Anteil der Intervalllänge berechnen.

Gilt unter diesen Annahmen: Die Gleichverteilung beschreibt den erzeugten Jitter. Gemessene tatsächliche Antwortzeiten enthalten zusätzliche Netzwerk- und Scheduler-Effekte.

Stetige Gleichverteilung: Gleichverteilter Retry-Jitter — PDF · theoretische Form
Gleichverteilter Retry-Jitter

Definition & Intuition

Konstante Dichte innerhalb bekannter Grenzen; außerhalb ist die Dichte null. $f(x)=\frac1{b-a},\quad a\le x\le b$

Parameter & Einheiten

$a<b$ : Unter- und Obergrenze in derselben Einheit wie $X$ . Die Dichte hat die inverse Einheit.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=(a+b)/2$ , $\operatorname{Var}(X)=(b-a)^2/12$ . Quantil $Q(q)=a+q(b-a)$ für $0<q<1$ .

Eigenschaften

Intervalle gleicher Länge innerhalb des Supports sind gleich wahrscheinlich; für jeden Einzelwert gilt $P(X=x)=0$ .

Passender Prozess

Kontinuierlicher Mechanismus mit harter Begrenzung und gleicher Dichte.

Schlechter Fit

Heaping/Rundung, bevorzugte Bereiche, offene Tails oder unbekannte Grenzen.

Geprüftes Mini-Beispiel

$X\sim U(2,6)$ : $P(3\le X\le5)=\frac{5-3}{6-2}=0{,}5$ Die Hälfte aller zufälligen Verzögerungen liegt zwischen drei und fünf Sekunden.

Nächste Alternative

Diskret uniform gibt Punkten positive Masse; Beta erlaubt Form auf einem begrenzten Intervall.

Interviewfalle

Die konstante Dichte $1/(b-a)$ ist nur bei Intervallbreite eins gleich eins.

Schätzen & diagnostizieren

Grenzen aus Mechanismus statt Stichproben-Min/Max begründen; ECDF und Lücken prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Warum sind Minimum und Maximum der Stichprobe selten eine ausreichende Begründung fü $r$ ein Gleichverteilungsmodell?

0–4-Rubrik: 0: akzeptiert es. 1: nennt Zufall. 2: Stichprobenextreme sind Schätzungen. 3: fordert Mechanismus und Tailprüfung. 4: nennt Beta/empirische Alternative und Unsicherheit.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

11 / 24stetigGeprüft: 2026-09-05

Normal- und Standardnormalverteilung

Normal and standard normal distribution

Support: $x\in\mathbb R$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Symmetrische Messabweichung eines Testsignals

Ein Prüfgerät misst ein stabiles Referenzsignal. Im synthetischen Messmodell liegen das Zentrum bei zehn Millivolt und die Standardabweichung bei zwei Millivolt.

Zufallsvariable: $X$ : Messwert in Millivolt; $Z$ : standardisierte Abweichung vom Referenzwert.

Wozu die Rechnung? Standardisierung macht Messabweichungen vergleichbar. Ein Q-Q-Plot kann zeigen, ob die symmetrische Fehlerannahme mit späteren Messungen vereinbar ist.

Gilt unter diesen Annahmen: Additive, ungefähr symmetrische Messfehler ohne Sättigung oder unterschiedliche Betriebsregime; das Gerät kann auch negative Werte messen.

Normal- und Standardnormalverteilung: Lage und Breite der Glocke — PDF · theoretische Form
Lage und Breite der Glocke

Normal- und Standardnormalverteilung: Nach Standardisierung — PDF · theoretische Form
Nach Standardisierung

Definition & Intuition

Symmetrische Glockendichte mit Lage und Streuung. $f(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

Parameter & Einheiten

$\mu\in\mathbb R$ : Lage; $\sigma>0$ : Standardabweichung, beide in Einheit von $X$ . $\sigma^2$ ist die Varianz. Standardnormal: $\mu=0,\ \sigma=1$ .

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=\operatorname{Median}(X)=\mu$ , $\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$ . Quantil $Q(q)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(q)$ ; symmetrische, dünne Tails.

Eigenschaften

$Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$ . Unabhängige Normalvariablen bleiben unter linearen Kombinationen normal.

Passender Prozess

Additive symmetrische Variation oder approximative Stichprobenverteilung eines Mittels bei passenden CLT-Bedingungen.

Schlechter Fit

Starke Schiefe, Grenzen, Multimodalität, Ausreißer oder schwere Tails.

Geprüftes Mini-Beispiel

$X\sim N(10,2^2)$ : $P(X\le10)=0{,}5,\qquad z=\frac{10-10}{2}=0$ Die Hälfte der Messwerte liegt unter dem angenommenen Zentrum; Rohdaten werden dadurch nicht automatisch normal.

Nächste Alternative

Student-t hat schwerere Tails; Lognormal ist positiv und rechtsschief.

Interviewfalle

Der zentrale Grenzwertsatz macht Rohdaten nicht normal und heilt keine abhängige oder selektive Stichprobe.

Schätzen & diagnostizieren

Datenerzeugung, Q-Q-Plot und Residuen prüfen; Normalitätstest nicht als automatisches Pass/Fail-Gate verwenden.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Was wird durch den zentralen Grenzwertsatz ungefähr normal: Rohdaten oder der Schätzer?

0–4-Rubrik: 0: Rohdaten. 1: erwähnt Mittelwert. 2: Stichprobenverteilung. 3: nennt Bedingungen und Standardfehler. 4: trennt Modellfehler, Stichprobenauswahl und endliche- $n$ -Diagnostik.

Quellenbasis: 1.3.6.6.1. Normal Distribution, Probability distributions — SciPy User Guide

12 / 24stetigGeprüft: 2026-09-05

Lognormalverteilung

Lognormal distribution

Support: $x>0$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Positive OCR-Laufzeiten modellieren

Die Laufzeit einer OCR-Testaufgabe entsteht hypothetisch aus mehreren multiplikativen Faktoren. Der Median liegt bei einer Sekunde; die Log-Standardabweichung beträgt 0,5.

Zufallsvariable: $X$ : Zahlenwert der Laufzeit in Sekunden; logarithmiert wird die Laufzeit relativ zu einer Sekunde.

Wozu die Rechnung? Für die mittlere Rechenlast ist der arithmetische Erwartungswert relevant. Den exponentierten Log-Mittelwert als Laufzeitmittel auszugeben würde hier unterschätzen.

Gilt unter diesen Annahmen: Strikt positive Laufzeiten und plausibel normalverteilte Logs. Timeouts sind zensierte Beobachtungen und dürfen nicht als normale kurze Laufzeiten eingehen.

Lognormalverteilung: Rechtsschiefe OCR-Laufzeit — PDF · theoretische Form
Rechtsschiefe OCR-Laufzeit

Definition & Intuition

Der Logarithmus der positiven Größe ist normalverteilt. Die Formel bezieht sich auf Zahlenwerte in einer festgelegten Referenzeinheit. $f(x)=\frac1{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

Parameter & Einheiten

$\ln X\sim N(\mu,\sigma^2)$ mit $\mu\in\mathbb R,\ \sigma>0$ . Beide Parameter liegen auf Log-Skala; $\sigma$ ist nicht die Standardabweichung der Originalwerte.

Momente, Quantile & Tails

$\operatorname{Median}(X)=e^\mu$ , $\mathbb E[X]=e^{\mu+\sigma^2/2}$ . $\operatorname{Var}(X)=(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}$ Rechtsschief, mit schwerer rechter Tail.

Eigenschaften

Das Produkt unabhängiger Lognormalvariablen ist lognormal. Der Logarithmus wandelt multiplikative Faktoren in additive Beiträge um.

Passender Prozess

Positive, multiplikativ entstehende und rechtsschiefe Größen.

Schlechter Fit

Nullen/negative Werte, strukturelle Obergrenze, mehrere Regime oder extrem schwere Tails.

Geprüftes Mini-Beispiel

$\mu=0,\ \sigma=0{,}5$ : $\operatorname{Median}(X)=1,\qquad \mathbb E[X]=e^{0{,}125}\approx1{,}133148$ Der Mittelwert liegt über dem Median: längere Laufzeiten ziehen ihn nach rechts.

Nächste Alternative

Gamma ist ebenfalls positiv/rechtsschief, hat aber andere Mean-variance- und Tail-Struktur.

Interviewfalle

$\mu=0$ bedeutet nicht Mittelwert null auf Originalskala.

Schätzen & diagnostizieren

Nullmechanismus, Log-Q-Q-Plot und Originalskalen-Residualen prüfen; Rücktransformation korrekt mitteln.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Warum ist der exponentierte Mittelwert der Logs meist nicht der Mittelwert auf Originalskala?

0–4-Rubrik: 0: weiß es nicht. 1: nennt Log-Skala. 2: erkennt den Modellmedian. 3: gibt $e^{\mu+\sigma^2/2}$ an. 4: erklärt Jensen, Einheiten und Prognoseziel.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

13 / 24stetigGeprüft: 2026-09-05

Exponentialverteilung

Exponential distribution

Support: $x\ge0$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Warten auf die nächste technische Störung

In einer stark vereinfachten Testumgebung treten Störungen mit konstanter Rate von einer halben Störung pro Stunde auf.

Zufallsvariable: $X$ : Zeit in Stunden vom Beobachtungsstart bis zur nächsten Störung.

Wozu die Rechnung? Die Überlebenswahrscheinlichkeit beschreibt ein störungsfreies Vier-Stunden-Fenster.

Gilt unter diesen Annahmen: Keine Alterung, Lastwechsel oder gehäuften Folgefehler. Ein System mit steigender Ausfallrate verlangt beispielsweise ein anderes Survivalmodell.

Exponentialverteilung: Zeit bis zur nächsten Störung — PDF · theoretische Form
Zeit bis zur nächsten Störung

Definition & Intuition

Wartezeit im homogenen Poisson-Prozess. $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ $F(x)=1-e^{-\lambda x}$

Parameter & Einheiten

$\lambda>0$ : Rate in inverser Zeiteinheit. Die Skala $\theta=1/\lambda$ ist eine Zeit.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=1/\lambda$ , $\operatorname{Var}(X)=1/\lambda^2$ , $\operatorname{Median}(X)=\ln(2)/\lambda$ . Rechtsschief.

Eigenschaften

Gedächtnislos: $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$ für $s,t\ge0$ . Die Hazard ist konstant: $h(x)=\lambda$ .

Passender Prozess

Wartezeit eines homogenen Poisson-Prozesses.

Schlechter Fit

Alterung, Saison, zeitabhängige Hazard, Zensierung ohne passende Likelihood oder mehrere Regime.

Geprüftes Mini-Beispiel

$\lambda=0{,}5\,\mathrm h^{-1}$ : $P(X>4\,\mathrm h)=e^{-0{,}5\cdot4}=e^{-2}\approx0{,}135335$ In etwa 13,53 Prozent der Fälle wartet man länger als vier Stunden.

Nächste Alternative

Weibull erlaubt steigende oder fallende Hazard; Gamma modelliert Zeit bis mehrere Ereignisphasen.

Interviewfalle

Gedächtnislosigkeit ist eine starke Mechanismusannahme, nicht nur eine Recheneigenschaft.

Schätzen & diagnostizieren

Zensierung, Hazard über Zeit und Expositionswechsel prüfen; Survival- statt Rohhistogramm allein betrachten.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Welche fachliche Aussage steckt in einer exponentiellen Wartezeit?

0–4-Rubrik: 0: ‚positive Daten‘. 1: Wartezeit. 2: konstante Rate. 3: Gedächtnislosigkeit/Hazard. 4: nennt Zensierung, Weibull-Alternative und Entscheidungsfolgen.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

14 / 24stetigGeprüft: 2026-09-05

Gamma-Verteilung

Gamma distribution

Support: $x>0$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Zeit bis zur zweiten eingehenden Anfrage

Ein synthetischer Hintergrunddienst erhält Anfragen mit konstanter Rate von 0,5 pro Stunde. Betrachtet wird die Zeit vom Start bis zur zweiten Anfrage.

Zufallsvariable: $X$ : gesamte Wartezeit in Stunden bis zum zweiten Ereignis.

Wozu die Rechnung? Der Erwartungswert eignet sich als einfache Referenz für ein Batching-Fenster. Die Streuung erklärt, warum das Fenster nicht jedes Mal nach vier Stunden voll ist.

Gilt unter diesen Annahmen: Die zwei Zwischenankunftszeiten sind unabhängig und haben dieselbe konstante Rate. Tageszeitabhängige Ankünfte brauchen ein erweitertes Modell.

Gamma-Verteilung: Zeit bis zum zweiten Ereignis — PDF · theoretische Form
Zeit bis zum zweiten Ereignis

Definition & Intuition

Positive Dichte, hier in Shape-Rate-Parametrisierung. $f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$

Parameter & Einheiten

$\alpha>0$ : dimensionslose Form; $\beta>0$ : Rate in inverser Einheit von $X$ . Alternative Skala $\theta=1/\beta$ ; SciPy erwartet diese Skala.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=\alpha/\beta$ , $\operatorname{Var}(X)=\alpha/\beta^2$ , $\operatorname{Skew}(X)=2/\sqrt\alpha$ . Rechtsschief.

Eigenschaften

Bei gleicher Rate addieren sich unabhängige Gamma-Shapes. $\alpha=1$ ergibt Exponential; ganzzahliges $\alpha$ beschreibt im Poisson-Prozess die Zeit bis zum entsprechenden Ereignis.

Passender Prozess

Positive Warte-/Mengenwerte und Zeit bis mehrere Poisson-Ereignisse.

Schlechter Fit

Nullmasse, negative Werte, harte Obergrenze oder Multimodalität.

Geprüftes Mini-Beispiel

$\alpha=2,\ \beta=0{,}5\,\mathrm h^{-1}$ , also $\theta=2\,\mathrm h$ : $\mathbb E[X]=4\,\mathrm h,\qquad \operatorname{Var}(X)=8\,\mathrm h^2$ Die Zeit bis zum zweiten Ereignis beträgt im Mittel vier Stunden.

Nächste Alternative

Lognormal entsteht multiplikativ und hat schwerere rechte Tail; Weibull modelliert flexible Hazard.

Interviewfalle

Rate $\beta$ und Skala $\theta$ sind Kehrwerte; dieselbe Zahl in beiden Konventionen beschreibt im Allgemeinen verschiedene Modelle.

Schätzen & diagnostizieren

Parametrisierung, Mean-variance-Beziehung, Nullwerte und Tail-Q-Q-Plot prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Warum musst du bei Gamma-Ergebnissen immer Rate oder Skala dazusagen?

0–4-Rubrik: 0: ‚Software‘. 1: zwei Konventionen. 2: $\beta=1/\theta$ . 3: zeigt Folgen für Mittel und Varianz. 4: ergänzt Einheiten, Dokumentation und Reproduzierbarkeit.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide, scipy.stats.gamma — SciPy v1.15.2

15 / 24stetigGeprüft: 2026-09-05

Beta-Verteilung

Beta distribution

Support: $0<x<1$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Unsicherheit über eine Fehlerwahrscheinlichkeit ausdrücken

Vor einem synthetischen Dokumenttest wird eine Beta-Verteilung mit den Shapes zwei und drei als bewusst gewählte Vorannahme verwendet.

Zufallsvariable: $p$ : unbekannte Wahrscheinlichkeit eines definierten Dokumentfehlers; die Dichte liegt über möglichen Werten von $p$ .

Wozu die Rechnung? Die Vorannahme kann mit Bernoulli-/Binomialdaten aktualisiert werden. Ihre Stärke muss durch Prior-Predictive- und Sensitivitätschecks begründet werden.

Gilt unter diesen Annahmen: Austauschbare Versuche und eindeutiges Label. Die Vorannahme ist weder eine gemessene Fehlerquote noch ein belegtes Wissen über APKV.

Beta-Verteilung: Unsicherheit über die Fehlerwahrscheinlichkeit — PDF · theoretische Form
Unsicherheit über die Fehlerwahrscheinlichkeit

Definition & Intuition

Flexible Dichte für eine unsichere Wahrscheinlichkeit oder einen stetigen Anteil. $f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$

Parameter & Einheiten

$\alpha,\beta>0$ : dimensionslose Formparameter. Im Beta-Binomial-Modell strukturieren sie die Vorinformation über die latente Wahrscheinlichkeit.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=\alpha/(\alpha+\beta)$ . $\operatorname{Var}(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ Je nach Parametern U-förmig, uniform oder unimodal.

Eigenschaften

Konjugierter Prior für $p$ eines Bernoulli-/Binomialmodells. $\operatorname{Beta}(1,1)$ ist uniform; endliche positive Shapes erzeugen keine Punktmasse an den Grenzen.

Passender Prozess

Unsichere Wahrscheinlichkeit oder stetiger Anteil strikt zwischen null und eins.

Schlechter Fit

Exakte Randmassen bei null oder eins, Nenner-Counts ohne Messmodell oder multimodale Population.

Geprüftes Mini-Beispiel

$\alpha=2,\ \beta=3$ : $\mathbb E[p]=\frac25=0{,}4,\qquad \operatorname{Var}(p)=\frac6{25\cdot6}=0{,}04$ Das beschreibt Unsicherheit über eine Wahrscheinlichkeit, keine beobachtete Fehlerquote.

Nächste Alternative

Logit-Normal modelliert normalverteilte Log-Odds; eine um Randmassen erweiterte Beta-Verteilung kann exakte Nullen und Einsen berücksichtigen.

Interviewfalle

Ein beobachteter Anteil mit kleinem Nenner ist nicht dieselbe Zufallsvariable wie ein latentes $p$ .

Schätzen & diagnostizieren

Randwerte, Nenner, Prior-Predictive-Verteilung und Sensitivität der Shapeparameter prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Welche Rolle spielt $\operatorname{Beta}(2,3)$ als Prior, und was darfst du daraus nicht behaupten?

0–4-Rubrik: 0: nennt nur Mittel. 1: Prior auf $p$ . 2: Mittel 0,4. 3: prüft Konzentration/Prior Predictive. 4: betont Sensitivität, Datenprozess und keine objektive Wahrheit.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide, How can Bayesian methodology be used for reliability evaluation?

16 / 24stetigGeprüft: 2026-09-05

Student-t-Verteilung

Student's t distribution

Support: $t\in\mathbb R$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Mittelwert aus sechs gepaarten Laufzeitdifferenzen prüfen

Sechs unabhängige Testaufgaben werden jeweils mit zwei OCR-Versionen ausgeführt. Unter der Nullhypothese ist die mittlere gepaarte Laufzeitdifferenz null.

Zufallsvariable: $T=\bar D/(S_D/\sqrt6)$ : standardisierte mittlere Differenz bei geschätzter Streuung.

Wozu die Rechnung? Für den kleinen Test braucht ein kompatibles Intervall t-Quantile; zusätzlich sind Effektgröße und praktische Laufzeitersparnis zu berichten.

Gilt unter diesen Annahmen: Exakte t-Verteilung bei unabhängigen normalverteilten Differenzen. Die Paarung erfolgt innerhalb einer Aufgabe; sechs Läufe derselben Aufgabe wären keine sechs unabhängigen Paare.

Student-t-Verteilung: Schwerere Tails bei geschätzter Streuung — PDF · theoretische Form
Schwerere Tails bei geschätzter Streuung

Definition & Intuition

Symmetrische Dichte mit schwereren Tails als die Standardnormalverteilung. $f(t)=\frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}$

Parameter & Einheiten

$\nu>0$ : Freiheitsgrade. Hier Standardform mit Lage null und Skala eins; eine zusätzliche Modellskala ist nicht allgemein die Standardabweichung.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[T]=0$ für $\nu>1$ , $\operatorname{Var}(T)=\nu/(\nu-2)$ für $\nu>2$ . Bei $1<\nu\le2$ unendliche Varianz; bei $\nu\le1$ kein definierter Mittelwert. Polynomiale Tails.

Eigenschaften

$T=Z/\sqrt{V/\nu}$ mit unabhängigem $Z\sim N(0,1)$ , $V\sim\chi^2_\nu$ . Für $\nu\to\infty$ Annäherung an die Standardnormalverteilung.

Passender Prozess

Standardisierte Mittelwertinferenz bei geschätzter Normalfehler-Streuung; robuste Fehlerfamilie in Modellen.

Schlechter Fit

Starke Schiefe, Grenzen, Abhängigkeit oder $\nu$ so klein, dass benötigte Momente fehlen.

Geprüftes Mini-Beispiel

$\nu=5$ : $P(T\le0)=0{,}5,\qquad \operatorname{Var}(T)=\frac5{5-2}\approx1{,}666667$ Die zusätzliche Unsicherheit der geschätzten Streuung führt zu schwereren Tails.

Nächste Alternative

Normal hat dünnere Tails; Cauchy entspricht Student-t mit $\nu=1$ und besitzt keinen Mittelwert.

Interviewfalle

Der t-Test verlangt nicht pauschal normalverteilte Rohdaten; Design, Fehler und Robustheit zählen.

Schätzen & diagnostizieren

Design, Ausreißer, Residuen, Stichprobengröße und Sensitivität gegenüber robusten Alternativen prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Was verändert sich bei kleiner werdenden t-Freiheitsgraden?

0–4-Rubrik: 0: ‚mehr Unsicherheit‘. 1: schwerere Tails. 2: extremere Quantile. 3: Momentexistenz/Normalgrenze. 4: verbindet Freiheitsgrade mit Schätzung und robustem Vergleich.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

17 / 24stetigGeprüft: 2026-09-05

Chi-Quadrat-Verteilung

Chi-square distribution

Support: $x\ge0$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Die Streuung eines Prüfgeräts untersuchen

Fünf unabhängige normalverteilte Messungen dienen dazu, die bekannte Sollvarianz eines Prüfgeräts zu hinterfragen.

Zufallsvariable: $Q=4S^2/\sigma_0^2$ : skalierte Stichprobenvarianz unter der angenommenen Sollvarianz $\sigma_0^2$ .

Wozu die Rechnung? Die Chi-Quadrat-Verteilung mit vier Freiheitsgraden erlaubt eine Varianzinferenz unter dem Modell. Ein Streuungsunterschied braucht zusätzlich eine technische Relevanzgrenze.

Gilt unter diesen Annahmen: Unabhängige Normalmessungen; Varianztests reagieren empfindlich auf Ausreißer und Abweichungen von Normalität.

Chi-Quadrat-Verteilung: Skalierte Stichprobenvarianz — PDF · theoretische Form
Skalierte Stichprobenvarianz

Definition & Intuition

Im ganzzahligen Konstrukt die Summe quadrierter unabhängiger Standardnormalvariablen. $f(x)=\frac{x^{\nu/2-1}e^{-x/2}}{2^{\nu/2}\Gamma(\nu/2)},\quad x>0$

Parameter & Einheiten

$\nu>0$ : dimensionslose Freiheitsgrade; bei der Summe von Quadraten ganzzahlig. Werte der Dichte am Rand werden durch den Grenzwert bestimmt.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=\nu$ , $\operatorname{Var}(X)=2\nu$ . Rechtsschief, mit wachsenden Freiheitsgraden symmetrischer.

Eigenschaften

$X\sim\operatorname{Gamma}(\alpha=\nu/2,\theta=2)$ . Unabhängige Chi-Quadratvariablen addieren ihre Freiheitsgrade.

Passender Prozess

Varianz-, Anpassungs- und Kontingenzteststatistiken unter ihren jeweiligen Nullannahmen.

Schlechter Fit

Kleine erwartete Zellen, Abhängigkeit oder als Modell fü $r$ beliebige positive Rohdaten ohne Mechanismus.

Geprüftes Mini-Beispiel

$\nu=4$ : $\mathbb E[X]=4,\qquad \operatorname{Var}(X)=2\cdot4=8$ Diese Zahlen beschreiben die Teststatistik, nicht die Streuung der ursprünglichen Messwerte.

Nächste Alternative

Gamma ist allgemeiner; F ist ein Verhältnis skalierter unabhängiger Chi-Quadratvariablen.

Interviewfalle

Ein Chi-Quadrat- $p$ -Wert misst weder Effektgröße noch Modellwahrheit.

Schätzen & diagnostizieren

Freiheitsgrade, erwartete Häufigkeiten, Unabhängigkeit und Effektmaß/Residualbeiträge prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Warum reicht ein signifikanter Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest nicht fü $r$ eine relevante Beziehung?

0–4-Rubrik: 0: ‚ $p$ klein‘. 1: erkennt Test. 2: Effektgröße fehlt. 3: Residuen/Zellen und Design. 4: ergänzt Konfundierung, Unsicherheit und praktische Entscheidung.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide, ASA Statement on Statistical Significance and P-Values

18 / 24stetigGeprüft: 2026-09-05

F-Verteilung

F distribution

Support: $x\ge0$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Zwei Messverfahren auf unterschiedliche Streuung prüfen

Zwei unabhängige Gruppen enthalten sechs beziehungsweise elf normalverteilte Testmessungen. Geprüft wird die Annahme gleicher Populationsvarianzen.

Zufallsvariable: $F=S_1^2/S_2^2$ mit $d_1=5$ und $d_2=10$ unter der Nullhypothese.

Wozu die Rechnung? Der Varianzquotient misst relative Streuung. Ein Konfidenzintervall und eine fachliche Toleranz sind zusätzlich zum Test nötig.

Gilt unter diesen Annahmen: Unabhängige Gruppen und Normalität für die exakte F-Verteilung. Bei Ausreißern oder Schiefe robuste Varianzvergleiche erwägen.

F-Verteilung: Verhältnis zweier Varianzschätzer — PDF · theoretische Form
Verhältnis zweier Varianzschätzer

Definition & Intuition

Verhältnis zweier unabhängiger, durch ihre Freiheitsgrade skalierter Chi-Quadratvariablen. $f(x)=\frac{(d_1/d_2)^{d_1/2}x^{d_1/2-1}}{B(d_1/2,d_2/2)(1+d_1x/d_2)^{(d_1+d_2)/2}},\quad x>0$

Parameter & Einheiten

$d_1,d_2>0$ : Zähler- und Nennerfreiheitsgrade. Dimensionslos; ihre Reihenfolge ist entscheidend.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=d_2/(d_2-2)$ für $d_2>2$ . Für $d_2>4$ : $\operatorname{Var}(X)=\frac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2)^2(d_2-4)}$ Rechtsschief.

Eigenschaften

$X=(U/d_1)/(V/d_2)$ mit unabhängigem $U\sim\chi^2_{d_1}$ , $V\sim\chi^2_{d_2}$ . $1/X\sim F(d_2,d_1)$ und $T_\nu^2\sim F(1,\nu)$ .

Passender Prozess

Varianzverhältnisse und Modellvergleiche in ANOVA/Regression unter passenden Annahmen.

Schlechter Fit

Abhängige Quadratsummen, heteroskedastische/nicht passende Fehler oder datengesteuerte Modellwahl ohne Korrektur.

Geprüftes Mini-Beispiel

$X\sim F(5,10)$ : $\mathbb E[X]=\frac{10}{8}=1{,}25,\qquad \operatorname{Var}(X)\approx1{,}354167$ Selbst unter gleicher Populationsvarianz ist der Erwartungswert dieses Varianzquotienten nicht exakt eins.

Nächste Alternative

Chi-Quadrat betrifft eine skalierte Quadratsumme; F vergleicht zwei davon.

Interviewfalle

Ein großes F lokalisiert bei mehreren Gruppen nicht automatisch die Unterschiede.

Schätzen & diagnostizieren

Verschachtelung, Freiheitsgrade, Residuen und geplante Kontraste prüfen; robuste Alternative erwägen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Welche zwei Arten von Variation vergleichst du mit einer F-Statistik in der Regression?

0–4-Rubrik: 0: ‚Varianzen‘. 1: erklärt Verhältnis. 2: Modell- zu Fehlervarianz. 3: Freiheitsgrade/Nullmodell. 4: ergänzt Annahmen, Effekt/Intervall und Modellwahlrisiko.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

19 / 24stetig / ÜberlebenGeprüft: 2026-09-05

Weibull-Verteilung

Weibull distribution

Support: $x\ge0$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Lebensdauer eines Dokumentenscanners analysieren

Ein synthetisches Flottenmodell für Scanner nutzt Shape zwei und eine Skala von zehn Jahren; die Ausfallrate steigt mit dem Gerätealter.

Zufallsvariable: $X$ : Lebensdauer bis zum ersten definierten Geräteausfall, gemessen in Jahren.

Wozu die Rechnung? Die modellierte Medianlebensdauer unterstützt eine Diskussion über Wartungsfenster; Kosten und Ausfallfolgen benötigen einen getrennten Entscheidungsansatz.

Gilt unter diesen Annahmen: Zensierte noch laufende Geräte korrekt berücksichtigen. Unterschiedliche Gerätetypen, Reparaturen und nichtmonotone Ausfallraten können ein anderes Modell erfordern.

Weibull-Verteilung: Scannerlebensdauer — PDF · theoretische Form
Scannerlebensdauer

Definition & Intuition

Zeit-bis-Ereignis-Modell mit veränderlicher Hazard. Für positive Werte: $f(x)=\frac k\lambda\left(\frac x\lambda\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k}$ $F(x)=1-e^{-(x/\lambda)^k}$

Parameter & Einheiten

$k>0$ : dimensionsloser Shapeparameter; $\lambda>0$ : Skala in Zeiteinheit, hier keine Rate.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=\lambda\Gamma(1+1/k)$ . $\operatorname{Var}(X)=\lambda^2\left[\Gamma(1+2/k)-\Gamma(1+1/k)^2\right]$ Median $\lambda(\ln2)^{1/k}$ .

Eigenschaften

$h(x)=(k/\lambda)(x/\lambda)^{k-1}$ : fallend für $k<1$ , konstant für $k=1$ , steigend für $k>1$ . Bei $k=1$ exponentiell.

Passender Prozess

Positive Zeit-bis-Ereignis-Daten mit monotoner Hazard.

Schlechter Fit

Nichtmonotone Hazard, konkurrierende Risiken, informative Zensierung oder Mischpopulation.

Geprüftes Mini-Beispiel

$k=2,\ \lambda=10$ Jahre: $\operatorname{Median}(X)=10\sqrt{\ln2}\approx8{,}325546$ Die Hälfte der modellierten Scanner fällt bis etwa 8,33 Jahren aus.

Nächste Alternative

Exponential erzwingt konstante Hazard; Lognormal kann eine nichtmonotone Hazard erzeugen.

Interviewfalle

Shape $k$ ist keine Zeit; Skala $\lambda$ ist nicht generell der Mittelwert.

Schätzen & diagnostizieren

Zensierung korrekt modellieren; die doppelt logarithmierte Survival-Kurve, Hazardform und Subgruppen prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Wie übersetzt du $k=2$ in eine fachliche Hazard-Aussage?

0–4-Rubrik: 0: ‚positiv‘. 1: $k>1$ . 2: steigende Hazard. 3: trennt Hazard von Wahrscheinlichkeit. 4: ergänzt Zensierung, Alternativen und keine Kausalinterpretation.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

20 / 24stetigGeprüft: 2026-09-05

Logistische Verteilung

Logistic distribution

Support: $x\in\mathbb R$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Einen binären Testausgang über eine latente Schwelle erklären

Ein künstlicher Belastungstest modelliert einen nicht direkt beobachteten Störeinfluss symmetrisch um null mit logistischer Skala zwei.

Zufallsvariable: $X$ : kontinuierlicher latenter Störeinfluss; $Y=\mathbf1\{\eta+X>0\}$ : binärer Testausgang.

Wozu die Rechnung? Zeigt, wie aus einer kontinuierlichen Fehlerverteilung eine logistische Erfolgswahrscheinlichkeit entsteht. Der beobachtete Ausgang selbst bleibt Bernoulli.

Gilt unter diesen Annahmen: Bei $\mu=0$ gilt $P(Y=1)=1/(1+e^{-\eta/s})$ . Die latente Skala muss im Regressionsmodell festgelegt werden; sie ist ohne weitere Struktur nicht separat vom Koeffizientenmaß identifizierbar.

Logistische Verteilung: Kontinuierlicher latenter Störeinfluss — PDF · theoretische Form
Kontinuierlicher latenter Störeinfluss

Definition & Intuition

Symmetrische Lage-Skala-Dichte mit logistischer Verteilungsfunktion. $f(x)=\frac{e^{-(x-\mu)/s}}{s(1+e^{-(x-\mu)/s})^2}$ $F(x)=\frac1{1+e^{-(x-\mu)/s}}$

Parameter & Einheiten

$\mu\in\mathbb R$ : Lage; $s>0$ : Skala, beide in Einheit von $X$ .

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=\operatorname{Median}(X)=\mu$ , $\operatorname{Var}(X)=\pi^2s^2/3$ . Symmetrisch mit exponentiellen, schwereren Tails als normal.

Eigenschaften

$\operatorname{logit}(F(x))=(x-\mu)/s$ . Die Differenz zweier unabhängiger Gumbelvariablen gleicher Skala ist logistisch verteilt.

Passender Prozess

Symmetrische Fehler mit etwas schwereren Tails; latente Fehlerdarstellung des Logit-Modells.

Schlechter Fit

Starke Schiefe, Grenzen, Multimodalität oder Verwechslung mit Bernoulli-Outcome.

Geprüftes Mini-Beispiel

$\mu=0,\ s=2$ : $F(0)=0{,}5,\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{4\pi^2}{3}\approx13{,}159473$ Die Skala zwei ist damit nicht die Standardabweichung.

Nächste Alternative

Normal hat dünnere Tails; Laplace eine Spitze am Zentrum und exponentielle Tails.

Interviewfalle

Logistische Verteilung und logistische Regression sind verwandt, aber nicht dasselbe Objekt.

Schätzen & diagnostizieren

Residualform und Tailverhalten prüfen; Skalenparameter nicht als Standardabweichung ausgeben.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Was ist der Unterschied zwischen logistischer Verteilung und logistischer Regression?

0–4-Rubrik: 0: setzt gleich. 1: Verteilung vs Modell. 2: nennt CDF/Logit. 3: trennt latenten Fehler und Bernoulli-Likelihood. 4: ergänzt Skala, Kalibrierung und Anwendungsgrenze.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide, Linear Models — scikit-learn User Guide

21 / 24stetigGeprüft: 2026-09-05

Laplace-Verteilung

Laplace distribution

Support: $x\in\mathbb R$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Viele kleine Prognosefehler mit gelegentlichen Ausreißern

Ein synthetisches Laufzeitmodell hat häufig Fehler nahe null, aber auch größere positive und negative Abweichungen. Als Fehlerbaseline werden Lage null und Skala zwei Sekunden angenommen.

Zufallsvariable: $X$ : vorzeichenbehafteter Prognosefehler in Sekunden, nicht die positive Laufzeit selbst.

Wozu die Rechnung? Die Verbindung zum absoluten Fehler erklärt, warum eine Medianprognose zu diesem Loss passt. Tailfehler müssen trotzdem separat geprüft werden.

Gilt unter diesen Annahmen: Annähernde Symmetrie und konstante Skala. Bei systematischer Über-/Unterschätzung oder lastabhängiger Streuung reicht eine globale Laplace-Verteilung nicht.

Laplace-Verteilung: Spitze um einen Prognosefehler von null — PDF · theoretische Form
Spitze um einen Prognosefehler von null

Definition & Intuition

Symmetrische Dichte mit einer Spitze am Zentrum und exponentiellen Tails. $f(x)=\frac1{2b}e^{-|x-\mu|/b}$

Parameter & Einheiten

$\mu\in\mathbb R$ : Lage; $b>0$ : Skala, beide in Einheit von $X$ .

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=\operatorname{Median}(X)=\mu$ , $\operatorname{Var}(X)=2b^2$ . Spitze im Zentrum und schwerere Tails als normal.

Eigenschaften

Bei fester Skala entspricht Maximum Likelihood für die Lage dem Minimieren von $\sum_i|x_i-\mu|$ ; der Stichprobenmedian ist eine Lösung.

Passender Prozess

Symmetrische, stärker zugespitzte Fehler mit mehr Tailmasse als normal.

Schlechter Fit

Schiefe, Grenzen, multimodale Fehler oder asymmetrische Fehlerkosten.

Geprüftes Mini-Beispiel

$\mu=0,\ b=2$ : $\operatorname{Var}(X)=2\cdot2^2=8,\qquad f(0)=\frac14$ Viele kleine Abweichungen liegen nahe null; größere positive und negative Abweichungen bleiben plausibel.

Nächste Alternative

Normal passt zu quadratischem, Laplace zu absolutem Fehler als Likelihood-Mentalmodell.

Interviewfalle

Robusterer absoluter Verlust macht das gesamte Verfahren nicht ausreißerfest gegen Leveragepunkte.

Schätzen & diagnostizieren

Residualsymmetrie, Spitze, Tails und Leverage getrennt prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Warum passt bei Laplace-Fehlern die absolute Abweichung als Loss?

0–4-Rubrik: 0: keine Verbindung. 1: nennt absolute Fehler. 2: erläutert die Dichte. 3: verbindet negative Log-Likelihood mit absoluter Abweichung und Median. 4: nennt Symmetrie, Ausreißer und Grenzen der Modellannahme.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide

22 / 24empirischGeprüft: 2026-09-05

Empirische Verteilung und ECDF

Empirical distribution and empirical CDF

Support: Beobachtete Werte $x_1,\ldots,x_n$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Vier beobachtete Bearbeitungszeiten beschreiben

Eine kleine synthetische Stichprobe enthält die Bearbeitungszeiten ein, ein, zwei und vier Tage.

Zufallsvariable: $\widehat F_4(t)$ : beobachteter Anteil der vier Fälle mit Dauer höchstens $t$ .

Wozu die Rechnung? Die Treppenfunktion beantwortet ohne Dichteannahme, welcher Stichprobenanteil eine Frist einhält. Für die gesamte Population bleibt Unsicherheit.

Gilt unter diesen Annahmen: Die vier Beobachtungen dürfen nicht automatisch als repräsentativ gelten. Keine Tailprognose außerhalb der beobachteten Werte ableiten.

Empirische Verteilung und ECDF: Rechtsstetige empirische Treppe — ECDF · beobachtete Stichprobe
Rechtsstetige empirische Treppe

Definition & Intuition

Jede Beobachtung erhält dieselbe Masse; wiederholte Werte summieren ihre Masse. Die ECDF zählt Werte bis zur gewählten Schwelle: $\widehat F_n(x)=\frac1n\sum_{i=1}^{n}\mathbf1\{x_i\le x\}$

Parameter & Einheiten

Keine parametrische Familie: $n\ge1$ und die Stichprobenwerte definieren die ungewichtete empirische Verteilung. Gewichte oder Cluster erfordern eine ausdrücklich angepasste Definition.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E_{\widehat F}[X]=\bar x$ , $\operatorname{Var}_{\widehat F}(X)=n^{-1}\sum_i(x_i-\bar x)^2$ . Das ist der Nenner $n$ , während die unverzerrte Stichprobenvarianz bei unabhängigen Daten den Nenner $n-1$ verwendet.

Eigenschaften

Rechtsstetige Treppenfunktion; Sprunghöhe ist die relative Häufigkeit des Wertes. Grundlage des nichtparametrischen Bootstrap.

Passender Prozess

Verteilungsbeschreibung ohne parametrische Formannahme und transparentes Resampling.

Schlechter Fit

Extrapolation in unbeobachtete Tails, kleine/selektive Stichproben oder abhängige Zeilen ohne angepasste Gewichte/Blöcke.

Geprüftes Mini-Beispiel

Daten $(1,1,2,4)$ : $\widehat F_4(2)=\frac34=0{,}75,\qquad \bar x=2$ Drei von vier beobachteten Bearbeitungen dauern höchstens zwei Tage; das ist eine Stichprobenbeschreibung.

Nächste Alternative

Parametrische Verteilung glättet und extrapoliert unter Annahmen; ECDF bleibt an Beobachtungen gebunden.

Interviewfalle

Nichtparametrisch bedeutet nicht annahmefrei oder populationsrepräsentativ.

Schätzen & diagnostizieren

Sampling Frame, Gewichte, Cluster, Missingness und ECDF-Konfidenzband prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Was kann die ECDF über Werte jenseits des Stichprobenmaximums sagen?

0–4-Rubrik: 0: schätzt weiter. 1: keine direkte Masse. 2: keine Tail-Extrapolation. 3: nennt Samplingunsicherheit. 4: ergänzt EVT/parametrische Annahme und Entscheidungskonsequenz.

Quellenbasis: Probability Distributions, Populations and Sampling

23 / 24StichprobenverteilungGeprüft: 2026-09-05

Stichprobenverteilungen

Sampling distributions of sums, means, proportions, variances and test statistics

Support: Abhängig von Statistik und Stichprobenplan

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Die Schwankung einer geschätzten Fehlerquote verstehen

Gedanklich werden immer wieder 100 unabhängige Dokumente aus derselben Population geprüft. Deren wahre Fehlerwahrscheinlichkeit wird im Lernbeispiel auf 36 Prozent gesetzt.

Zufallsvariable: $\widehat p$ : Fehleranteil je wiederholter Hunderterstichprobe; die einzelne Beobachtung ist dagegen binär.

Wozu die Rechnung? Die Verteilung erklärt die Präzision des Schätzers. Die gezeigte exakte Binomialrechnung vermeidet, Rohdaten mit ihrer Schätzerverteilung zu verwechseln.

Gilt unter diesen Annahmen: Identisch verteilter, unabhängiger Samplingmechanismus. Bei Clusterstichproben nach Akten oder Zeitblöcken muss der Standardfehler das Design berücksichtigen.

Stichprobenverteilungen: Exakte Verteilung des geschätzten Anteils — PMF · theoretische Form
Exakte Verteilung des geschätzten Anteils

Definition & Intuition

Verteilung einer Statistik über gedachte Wiederholungen desselben Stichprobenplans. Für unabhängige Bernoulli-Daten gilt exakt: $n\widehat p\sim\operatorname{Bin}(n,p)$

Parameter & Einheiten

Population und Samplingdesign sowie $n$ bestimmen die Verteilung. $\widehat p=n^{-1}\sum_iX_i$ ist der Schätzer, $p$ der Populationsanteil. Der Standardfehler misst die Streuung des Schätzers.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[\widehat p]=p$ , $\operatorname{Var}(\widehat p)=p(1-p)/n$ . Für unabhängige identisch verteilte Größen: $\operatorname{Var}(\sum_iX_i)=n\sigma^2$ , $\operatorname{Var}(\bar X)=\sigma^2/n$ .

Eigenschaften

Bei unabhängigen Normaldaten gelten exakt: $\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)$ , $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$ und $(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)\sim t_{n-1}$ . Für andere Rohdaten kann der CLT eine Näherung für das Mittel liefern; nicht jede Statistik wird normal.

Passender Prozess

Unsicherheit, Intervalle, Tests und Power eines klaren Estimands/Estimators.

Schlechter Fit

Falsche unabhängige Einheit, ignorierte Cluster/Zeiten, selektive Stichprobe oder data-dependent Analyse.

Geprüftes Mini-Beispiel

$p=0{,}36,\ n=100$ : $\operatorname{SE}(\widehat p)=\sqrt{\frac{0{,}36\cdot0{,}64}{100}}=0{,}048$ Das sind 4,8 Prozentpunkte Streuung über wiederholte Stichproben, kein 95-Prozent-Intervall und keine Streuung einzelner Dokumente.

Nächste Alternative

Die Populationsverteilung beschreibt einzelne $X$ ; die Stichprobenverteilung beschreibt den wiederholt berechneten Schätzer.

Interviewfalle

Mehr Zeilen senken den Standardfehler nicht automatisch proportional zu $1/\sqrt n$ , wenn die wirksame unabhängige Einheit kleiner ist.

Schätzen & diagnostizieren

Population, Estimand, Estimator, Sampling- und Resampling-Einheit explizit dokumentieren.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung und Standardfehler?

0–4-Rubrik: 0: setzt gleich. 1: Daten vs Schätzer. 2: nennt Samplingverteilung. 3: Einheiten und $n$ -Skalierung. 4: ergänzt Cluster, Design und Entscheidungsintervall.

Quellenbasis: Populations and Sampling, The data are randomly sampled from the process

24 / 24Mischung / angewandtes MusterGeprüft: 2026-09-05

Misch-, Zero-inflated- und Hurdle-Muster

Mixture, zero-inflated and hurdle distribution patterns

Support: Vereinigung der Komponentensupports; bei Countmustern $x\in\mathbb N_0$

Konkreter Anwendungsfall · synthetisches Lernbeispiel

Betriebszustände und Nullereignisse auseinanderhalten

Drei hypothetische Prozesse: Messwerte aus zwei unterschiedlich zentrierten Gerätemodi; Störungszahlen einschließlich abgeschalteter Geräte; gesamte Klickzahl einschließlich Einstieg nach einem freiwilligen Portalbesuch.

Zufallsvariable: Mischung: kontinuierlicher Messwert. ZIP: Störungszahl, wobei ausgeschaltet strukturell null ist. Hurdle: null bei keinem Besuch, sonst positive Gesamtzahl der Klicks einschließlich Einstieg.

Wozu die Rechnung? Prozesswissen entscheidet zwischen Mischung, ZIP und Hurdle. Die getrennten Plots machen die unterschiedlichen Nullwahrscheinlichkeiten sichtbar.

Gilt unter diesen Annahmen: Gerätemodi und Exposition müssen fachlich überprüfbar sein. Aus vielen Nullen oder zwei Gipfeln allein folgt kein Nachweis dieser Prozesse. Im Hurdle-Beispiel zählen die unten angegebenen positiven Klickzahlen den Einstieg mit.

Misch-, Zero-inflated- und Hurdle-Muster: Mischung zweier Gerätemodi — PDF · theoretische Form
Mischung zweier Gerätemodi

Misch-, Zero-inflated- und Hurdle-Muster: Zero-inflated: zwei Wege zu null — PMF · theoretische Form
Zero-inflated: zwei Wege zu null

Misch-, Zero-inflated- und Hurdle-Muster: Hurdle: eine Schwelle vor positiven Counts — PMF · theoretische Form
Hurdle: eine Schwelle vor positiven Counts

Definition & Intuition

Mischung: $f(x)=\sum_{k=1}^{K}\pi_k f_k(x)$ Beim Zero-inflated-Poisson-Modell kommen Nullen aus zwei Pfaden: $P_{\mathrm{ZIP}}(X=0)=\pi+(1-\pi)e^{-\lambda}$ $P_{\mathrm{ZIP}}(X=x)=(1-\pi)\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!},\quad x\ge1$ Hurdle trennt null vom strikt positiven Teil: $P_{\mathrm H}(X=0)=q$ $P_{\mathrm H}(X=x)=(1-q)\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!(1-e^{-\lambda})},\quad x\ge1$

Parameter & Einheiten

Mischung: $\pi_k\ge0,\ \sum_k\pi_k=1$ , plus Komponentenparameter. ZIP: $\pi\in[0,1]$ ist die strukturelle Nullwahrscheinlichkeit, $\lambda>0$ der Poisson-Mittelwert. Hurdle: $q\in[0,1]$ ist die gesamte Nullwahrscheinlichkeit.

Momente, Quantile & Tails

$\mathbb E[X]=\sum_k\pi_k\mu_k$ . $\operatorname{Var}(X)=\sum_k\pi_k\bigl[\sigma_k^2+(\mu_k-\mathbb E[X])^2\bigr]$ Für ZIP: $\mathbb E[X]=(1-\pi)\lambda$ , $\operatorname{Var}(X)=(1-\pi)\lambda(1+\pi\lambda)$ .

Eigenschaften

ZIP erlaubt Nullen auch im Poisson-Teil; Hurdle erlaubt dort keine. Eine Mischung identifiziert ohne weitere Annahmen keine real benennbaren Subgruppen.

Passender Prozess

Plausibel verschiedene Entstehungsprozesse, strukturelle Nullen oder getrennte Teilnahme-/Intensitätsentscheidungen.

Schlechter Fit

Ein mehrgipfliges Histogramm allein, unidentifizierte Komponenten, kleine Stichproben oder fehlende fachliche Prozessbegründung.

Geprüftes Mini-Beispiel

ZIP mit $\pi=0{,}3,\ \lambda=2$ : $\mathbb E[X]=0{,}7\cdot2=1{,}4$ $P(X=0)=0{,}3+0{,}7e^{-2}\approx0{,}394735$ Hurdle mit $q=0{,}3$ hat dagegen genau $P(X=0)=0{,}3$ .

Nächste Alternative

Negativ-Binomial erklärt Extra-Streuung ohne separaten strukturellen Nullzustand; Hurdle erlaubt im positiven Teil keine Nullen.

Interviewfalle

Eine statistisch besser passende Mischung beweist keine realen, sauber benennbaren Subpopulationen.

Schätzen & diagnostizieren

Mechanismus, Identifizierbarkeit, held-out Log-Loss, Kalibrierung je Regime und Sensitivität gegen einfachere Modelle prüfen.

Mündliche Originalfrage & Detailrubrik

Frage: Wie unterscheidest du Zero-inflated und Hurdle fachlich, nicht nur per AIC?

0–4-Rubrik: 0: beide ‚viele Nullen‘. 1: zwei Prozesse. 2: erklärt Nullentstehung. 3: fordert Prozesswissen/held-out Vergleich. 4: ergänzt Identifizierbarkeit, Kalibrierung und einfachere Alternative.

Quellenbasis: Probability distributions — SciPy User Guide, Probability Distributions

Endlicher Lernkatalog, nicht „alle Verteilungen“

So liest du die Plots

Nach Prozess statt Namen suchen

Auswahl in fünf Sätzen

Bernoulli-Verteilung

Ein Dokument auf einen Pflichtfeldfehler prüfen

Zwei mögliche Ausgänge

Definition & Intuition

Parameter & Einheiten

Momente, Quantile & Tails

Eigenschaften

Passender Prozess

Schlechter Fit

Geprüftes Mini-Beispiel

Nächste Alternative

Interviewfalle

Schätzen & diagnostizieren

Binomialverteilung

Fehlerhafte Dokumente in einem Fünfer-Batch

Fehlerzahl im festen Batch

Definition & Intuition

Parameter & Einheiten

Momente, Quantile & Tails

Eigenschaften

Passender Prozess

Schlechter Fit

Geprüftes Mini-Beispiel

Nächste Alternative

Interviewfalle

Schätzen & diagnostizieren

Kategorialverteilung

Eine Serviceanfrage nach Anliegen einordnen

Eine Kategorie je Anfrage

Definition & Intuition

Parameter & Einheiten

Momente, Quantile & Tails

Eigenschaften

Passender Prozess

Schlechter Fit

Geprüftes Mini-Beispiel

Nächste Alternative

Interviewfalle

Schätzen & diagnostizieren

Multinomialverteilung

Die Zusammensetzung von vier Anfragen planen

Eine Randverteilung des Countvektors

Definition & Intuition

Parameter & Einheiten

Momente, Quantile & Tails

Eigenschaften

Passender Prozess

Schlechter Fit

Geprüftes Mini-Beispiel

Nächste Alternative

Interviewfalle

Schätzen & diagnostizieren

Diskrete Gleichverteilung

Einen von sechs Testservern zufällig wählen

Faire Serverauswahl

Definition & Intuition

Parameter & Einheiten

Momente, Quantile & Tails

Eigenschaften

Passender Prozess

Schlechter Fit

Geprüftes Mini-Beispiel

Nächste Alternative

Interviewfalle

Schätzen & diagnostizieren

Geometrische Verteilung

Uploadversuche bis zur ersten Bestätigung

Versuche bis zum ersten Erfolg

Definition & Intuition

Parameter & Einheiten

Momente, Quantile & Tails

Eigenschaften

Passender Prozess

Schlechter Fit

Geprüftes Mini-Beispiel

Nächste Alternative